Abstract. Orietta Pedemonte prende in considerazione alcuni degli interrogativi che si pone chiunque debba affrontare un insegnamento di matematica in una facoltà o scuola di architettura: Quale e quanta matematica per architettura? Quale insegnamento? Meglio informazioni su tanti argomenti o approfondimento di alcuni? Meglio previlegiare un percorso storico-filosofico o puntare sugli aspetti applicativi attuali?

Mathematica per architettura: alcune esperienze europee

Orietta Pedemonte
Dipartimento di Scienze per l'Architettura
Stradone S. Agostino, 32 - 16123 Genova

Versione inglese

INTRODUZIONE
Quale e quanta matematica per architettura? Quale insegnamento? Meglio informazioni su tanti argomenti o approfondimento di alcuni? Meglio previlegiare un percorso storico-filosofico o puntare sugli aspetti applicativi attuali? Questi sono alcuni degli interrogativi che si pone chiunque debba affrontare un insegnamento di matematica in una facoltà o scuola di architettura. Il problema è acuito da una ulteriore domanda: cosa si intende per architetto? Fiumi di parole e di carta sono stati profusi su questo termine. La normativa CEE 384/85 (v. Allegato 1) ha dato indicazioni in tal senso, ma i modi per raggiungere gli obiettivi in essa fissati sono variamente interpretati ed intesi: il dibattito continua.
Cosa si intende per architettura? Quali sono i possibili futuri «mestieri» di un laureato in architettura? Gli scenari mondiali che si stanno delineando come influiranno? E poi ancora, meglio preparare per una professione (che si sta rivelando molto varia, da quanto risulta dalle indagini sulle occupazioni di lavoro dei laureati) o dare una impostazione metodologico-culturale che permetta flessibilità nel futuro?
Il problema è ulteriormente aggravato dal riordino degli studi universitari che è in atto a livello europeo e che probabilmente coinvolge anche le facoltà di architettura italiane.
È da queste osservazioni che ha preso spunto la mia indagine sull'insegnamento della matematica nelle facoltà o scuole di architettura europee; indagine non ancora terminata che, per ora, ha preso in considerazione solo alcuni paesi e precisamente Belgio, Francia, Portogallo, Spagna e Svizzera.
La relazione che segue non intende essere esaustiva, neanche per i paesi sopra nominati: è solo frutto di alcune considerazioni, sulla base di colloqui con docenti e consultazione di articoli, testi, dossier, programmi di insegnamento, libretti dello studente, pagine web di alcune delle scuole o facoltà delle nazioni sopra citate.
Fondamentale è stata la consultazione di [4].

BELGIO

La formazione degli architetti, avviene sia attraverso gli ISAI, Instituts Superieurs d'Architetture Intercommunals (considerati dal 1991, in ottemperanza alla direttiva CEE 384/85, «istituti di istruzione superiore di tipo lungo» a livello universitario, dipendenti dal Ministero dell'Educazione, della Ricerca scientifica e della Formazione) sia attraverso le Università Tecniche.
Il corso degli studi dura cinque anni, divisi in due cicli. Il primo, di due anni, dà diritto al titolo di candidate architecte / Kandidaat architect che permette un primo inserimento nel mondo del lavoro; il secondo di tre anni conduce al titolo di architecte / architect o burgerlijk ingenieur. In tutte le scuole di architettura il primo ciclo è costituito in maggioranza da materie obbligatorie di base; il secondo è finalizzato alla specializzazione e ogni scuola offre diverse opzioni.
Non vi è numero chiuso ed è sufficiente, per l'iscrizione, essere in possesso di un diploma di istruzione secondaria.
L'Institut Superieur d'Architecture de la Communité Française La Cambre si differenzia dalle altre scuole per la sua impostazione meno tecnica ed incentrata sul progetto (avvicinandosi in tal modo alle Écoles francesi). Esiste comunque nel 1° ciclo un corso di matematica nella cui prima parte vengono insegnati elementi di calcolo differenziale, integrali, equazioni differenziali. Nella seconda parte vengono considerate «le leggi dell'armonia» in modo da mettere in evidenza a partire dalla storia della matematica lo stretto legame che è esistito tra architettura e matematica, attraverso le proporzioni.
Sempre nel 1° ciclo vi è un corso di Geometria descrittiva ed applicazioni che comprende anche studi di superfici e solidi. Grande spazio viene dato all'informatica ed alle sue applicazioni essendo previsto un corso nel 1° ciclo e due corsi nel 2° ciclo: non sono solo rivolti al disegno, ed alla modellizzazione, ma anche allo studio delle proprietà di sistemi complessi.
Negli altri ISAI sono previsti, in proporzione variabile, moduli di insegnamento di calcolo differenziale ed integrale, probabilità e statistica, geometria delle curve e superfici - topologia, informatica (per es. all'ISAI Horta per un totale di 150 ore e all'ISAI Mons per un totale di 240 ore), geometria descrittiva (150 ore o 120 ore).
Questi corsi sono generalmente localizzati al 1° ciclo, ma a volte si hanno moduli di informatica e statistica anche nel 2° ciclo (per es. all'ISAI Mons).
Nelle Università il biennio è normalmente comune al corso di studi di ingegneria. Per il triennio vi è l'opzione tra una formazione più tecnica ed una più legata all'architettura.
L'iscrizione non è libera ma occorre superare un esame di ammissione in cui sono decisive le prove di matematica, riguardanti trigonometria, algebra, analisi, geometria sintetica ed analitica. Per riuscire a superare l'esame è di solito necessario un rafforzamento di studi matematici nell'ultimo anno della scuola secondaria.
Nella formazione dell'architetto da parte delle Università, l'insegnamento matematico e informatico è notevolmente presente con corsi avanzati anche nel 2° ciclo.

FRANCIA
La formazione e la ricerca nel campo dell'architettura sono di competenza del Ministero della Cultura e della Comunicazione.
Il titolo di architetto in Francia viene conseguito tramite il «diplome d'architecte diplomé par le gouvernament» (DPLG) rilasciato dalle 22 Ecoles d'Architecture o tramite il «diplome d'architecte de l'ENSAIS» rilasciato dall'Ecole National Superieur d'Architecture di Strasburgo o tramite il «diplome d'architecte DESA», rilasciato dall'Ecole Speciale d'Architecture di Parigi (privato).
Les Ecoles d'Architecture provengono dalle Ecoles des Beaux Arts ed alcune scuole francesi sono ancora legate al metodo ed al tipo di insegnamento di quest'ultime, nel senso che grande sforzo viene dato alla formazione artistica dello studente.
A partire dall'a.a. 98/99 è in atto la riforma degli studi che prevede un corso della durata di 6 anni suddivisi in 3 cicli di due anni ciascuno. Al termine del secondo ciclo viene conseguito un primo diploma DEUG (maitrise) che consente anche un eventuale passaggio all'università.
La riforma sancisce la centralità del progetto architettonico e in minor misura (nei primi 2 cicli) urbanistico, sono previsti indirizzi specialistici soprattutto nel 3° ciclo tra cui anche informatica per l'architettura e l'urbanistica. L'insegnamento è articolato nei primi cicli su moduli interdisciplinari ed è basato sulla relazione tra «architettura ed i saperi per l'architettura».
La situazione francese dell'insegnamento matematico è forse la più lontana dalla italiana, fra quelle prese in esame. La ragione va cercata nella provenienza delle scuole delle Ecoles des Beaux Arts e quindi nell'aver privilegiato la formazione artistica dello studente fino a pochi anni fa. Si capisce quindi perché l'insegnamento di calcolo differenziale e integrale sia ridotto al minimo se non inesistente e sia data invece spazio alla geometria descrittiva, proiettiva, allo studio di solidi e superfici, alla topologia; al loro utilizzo per studi morfogenetici e come base teorica per costruzione di modelli nei la boratori (per es. [2], [3]).
Esistono corsi integrati geometria - informatica - costruzione di modelli, in sintonia con il fatto che lo studio del rapporto informatica - architettura è argomento centrale di studio in alcuni centri di ricerca francesi.
Il dibattito su cosa si debba insegnare in una scuola di architettura è sempre molto vivo [7], ma vi è accordo nel considerare il progetto architettonico come centrale e fondamentale l'integrazione tra «sapere e saper fare» attraverso ateliers interni alle scuole o coordinati, su temi specifici, tra più scuole (Grands Ateliers de l'Isle-d'Abeau); però anche in questi casi la matematica può dire qualcosa (per es. [2], [5]).
Con l'attuazione della nuova riforma anche il progetto urbanistico comincia ad essere preso in considerazione e quindi in alcune scuole sono stati o stanno per essere attivati moduli di statistica e corsi sui sistemi informativi geografici.

PORTOGALLO
Solo dal 1983 la formazione degli architetti non è più affidata alle Accademie di Belle Arti ma a facoltà o dipartimenti appositamente istituiti.
Ciò nonostante vi è stata una divaricazione tra indirizzi tecnico-costruttivi di alcune facoltà e artistico-umanistiche di altre. Il dibattito è stato molto acceso tanto da arrivare al Comitato Consultivo Europeo: attualmente, grazie ad una più equilibrata composizione del piano di studi, il conflitto sembra superato.
Per iscriversi alle facoltà di architettura occorre essere in possesso di un diploma di scuola superiore e superare un esame nazionale per l'ammissione all'università in specifiche materie indicate dalle singole facoltà: in genere per l'architettura sono matematica, geometria descrittiva, storia dell'arte.
I corsi hanno una durata di 6 anni nelle facoltà di Lisbona e Porto e di 5 a Coimbra e nella università privata di Lusiada. Non vi è suddivisione in cicli e solo al 5° anno sono previste alcune opzioni.

SPAGNA
Possono esercitare la professione di architetto solo coloro che sono in possesso di un diploma universitario di grado superiore rilasciato dalle «Escuela Tecnica Superior de Arquitectura». Ai corsi a ciclo lungo (della durata di cinque anni suddivisi in due cicli) che portano al conseguimento del titolo di architetto si affiancano, però, in quasi tutte le università, cicli brevi di tre anni per la qualifica di «arquitecto tecnico».
È possibile differenziare la formazione attraverso corsi d'insegnamento opzionali corrispondenti in genere al 10% del totale delle ore. Il resto è suddiviso tra materie fondamentali ed obbligatorie, stabilite dalle direttrici ministeriali, ed altre materie obbligatorie stabilite da ciascuna scuola in base alla propria caratterizzazione specifica.
Le competenze attribuite, in Spagna, all'architetto sono decisamente superiori a quelle del modello di architetto che risulta dalle direttive europee ed è per questo che alcune università rimpiangono la durata di 6 anni del corso di studi e comunque continuano ad offrire e pretendere una preparazione superiore (anche da un punto di vista scientifico) a quella di altri paesi.
Per poter accedere all'Università occorre, terminata la scuola superiore, frequentare un anno di Corso Orientativo Universitario (COU) con esame finale (Selectividad): il voto riportato è determinante per l'ammissione ad un corso universitario a numero chiuso come è quello delle Scuole di Architettura.
Per quanto concerne l'insegnamento matematico, la situazione è abbastanza simile a quella italiana. Esso è presente nel primo ciclo, ma in alcune sedi anche al terzo anno. Nelle sedi in cui sono minori i moduli di matematica è maggiore il peso di moduli di informatica ed applicazioni, con ampio spazio all'impostazione geometrica delle applicazioni.
Gli argomenti trattati, in proporzioni variabili, sono:calcolo infinitesimale, integrale, equazioni differenziali, metodi numerici, problemi di massimo e minimo vincolato, elementi di statistica, geometria, algebra lineare, geometria descrittiva. Nei moduli di geometria ed algebra vengono a volte trattati i sistemi proporzionali applicati all'architettura, le isometrie, le tassellazioni.
Gli argomenti citati non ci sono certamente nuovi: il problema è il grado di approfondimento di essi, le connessioni con gli altri corsi di architettura, una presentazione accattivante. In tal senso mi sembra interessante la formulazione data in [1], testo adottato in alcune sedi. L'allegato 2 è la chiave di impostazione del libro.

SVIZZERA
La situazione svizzera è molto particolare: la formazione che viene fornita è di tradizione fortemente tecnica. Per la progettazione e costruzione di edifici è sufficiente il diploma di scuola tecnica superiore; ma solo coloro che hanno conseguito diplomi universitari possono adoperare il titolo di architetto.
È, comunque, in atto una riforma che cerca di adeguare la preparazione professionale di un architetto alla normativa CEE 85/384, anche se la Svizzera non fa parte della Comunità Europea.
In tal senso, per esempio, le Fachhochschulen elvetiche stanno modificando il loro sistema di istruzione in modo da essere equiparabili alle Fachhochschulen tedesche.
Non considerando comunque le scuole tecniche superiori (in fase di cambiamento) il diploma di laurea in architettura può essere conseguito presso le Università o i Politecnici.
La durata dei corsi di studi (tranne che nell'Università della Svizzera Italiana) è di quattro anni divisi in due cicli di due anni con in più un anno obbligatorio di tirocinio; al Politecnico di Zurigo (ETH) è allo studio l'istituzione di un corso preparatorio di un anno su materie fondamentali non contemplate o non sufficientemente sviluppate nella scuola secondaria.
L'Università di Ginevra offre solo il 2° ciclo ed il 1° ciclo deve essere frequentato o all'École Polytecnique Féd. de Lousanne (EPFL) o all'ETH.
Ginevra e Losanna hanno cercato di differenziare, nel 2° ciclo, le specializzazioni mantenendo, Losanna, una specificazione tecnico-ingegneristica (a parte una specializzazione in storia).
All'EPFL l'insegnamento matematico viene impartito sia nei due semestri del 1° anno, sia nei due semestri del 2° anno, con particolare attenzione alla geometria (descrittiva, studio di curve e superfici, ma anche proporzioni, sezione aurea, modulor, tassellazioni) e teoria dei grafi.
Fondamentali sono anche un semestre di informatica e due semestri d'»informatique et dessin» preparatori ad un corso di «modelisation informatique» del 2° ciclo.
Discorso a parte merita l'Università della Svizzera Italiana, dove il diploma viene conseguito presso l'Accademia istituita nel 1995; l'indirizzo è volutamente più umanistico, meno tecnico rispetto agli altri corsi di laurea svizzeri, con particolare attenzione alla transdisciplinarietà, alla centralità del progetto (termine inteso in senso lato), ed alla necessità di trovare un approccio comune alle discipline storiche e scientifiche: l'organizzazione è particolare [1]. La durata del corso è di 6 anni.
Per quanto riguarda l'insegnamento della matematica è previsto un corso introduttivo al 1° anno e corsi di approfondimento negli anni successivi: La rappresentazione delle forme, Forme geometriche per la visualizzazione, Strutture matematiche nel progetto architettonico. La matematica, come la storia dell'architettura, l'ecologia, le strutture, ecc. viene concepita come un'area di studio di un unico sapere che dovrebbe «nutrire» quel complesso processo che è il progettare: fortissima è la richiesta di transdisciplinarietà.
L'esperienza è in corso; il programma è stimolante, vale la pena di seguire con attenzione gli sviluppi, anche se la situazione logistica dell'Accademia così favorevole è per ora difficilmente conseguibile nei nostri Atenei creando quindi ulteriori complicazioni all'attivazione di un progetto didattico così concepito.

Dalle indagini svolte emergono alcune impressioni:
- l'esperienza [5] segnala che la geometria descrittiva analizzata nel suo sviluppo storico, legato alla stereometria e alla stereotomia può essere un buon punto d'incontro tra la storia dell'architettura, della matematica, della scienza del costruire, anche in temi importanti della conservazione e del restauro. [6] Se unita poi alla costruzione dei modelli (per cui il disegno preliminare è indispensabile ed una certa abilità geometrica è richiesta, essendo la definizione geometrica dell'oggetto non banale) può sviluppare le facoltà dello studente ed inventare forme.
- dovrebbe essere aumentato, come è in molte sedi straniere, lo spazio dedicato all'interazione informatica - geometria delle forme - architettura e, tenendo conto della forte componente urbanistica nel nostro sistema di studi, prevederne uno per i sistemi informativi geografici.
Importante è far acquisire agli studenti la necessità di un uso o, meglio, di un «progetto» d'uso intelligente degli strumenti e delle metodologie informatiche.

CONCLUSIONI
Il problema centrale è sempre: che preparazione deve avere un architetto?
Mi sento di condividere l'opinione, espressa dal direttore dell'Accademia di Mendrisio nella presentazione del corso di studi, che il futuro architetto deve «saper fare un progetto, ma progetto di idee, di spazi, di materia, di forze, di luce, ecc. sempre progetti, ma non solo disegni».
Progettare è però complesso e richiede il saper condurre un'attività interdisciplinare, rendersi conto in alcuni casi, dell'insufficienza delle proprie conoscenze e saper quindi dialogare con gli esperti. Questo non vuol dire demandare all'esperto, come spesso accade, la soluzione del problema ma saper partecipare alla soluzione di esso: dialogare, appunto. Ed è quindi sulla costruzione dei linguaggi che va puntata l'attenzione, evidenziando al massimo le possibili connessioni tra il proprio e gli altrui saperi disciplinari, utili alla costruzione di un progetto; ma il coinvolgimento deve essere complessivo, non solo unilaterale.
Problema difficile: la strada mi sembra sempre più in salita.

 ALLEGATO 1. Direttiva CEE 85/384

Secondo la direttiva CEE 85/384, gli studi di livello universitario che portano a conseguire questo titolo "devono essere equilibratamente ripartiti tra gli aspetti teorici e pratici della formazione dell'architetto ed assicurare il raggiungimento:

1. della capacità di creare progetti architettonici che soddisfino le esigenze estetiche e tecniche;

2. di una adeguata conoscenza della storia e delle teorie dell'architettura, nonché delle arti, tecnologie e scienze umane ad essa attinenti;

3. di una conoscenza delle belle arti in quanto fattori che possono influire sulla qualità della concezione architettonica;

4. di una adeguata conoscenza in materia urbanistica, pianificazione e tecniche applicate nel processo di pianificazione;

5. della capacità di cogliere i rapporti tra uomo e creazioni architettoniche e tra creazioni architettoniche e il loro ambiente, nonché la capacità di cogliere la necessità di adeguare fra loro creazioni architettoniche e spazi in funzione dei bisogni e della misura dell'uomo;

6. della capacità di capire l'importanza della professione e delle funzioni dell'architetto nella società, in particolare elaborando progetti che tengano conto dei fattori sociali;

7. della conoscenza di metodi di indagine e di preparazione del progetto di costruzione;

8. della conoscenza dei problemi di concezione strutturale, di costruzione e di ingegneria civile connessi con la progettazione degli edifici;

9. di una conoscenza adeguata dei problemi fisici e delle tecnologie, nonché della funzione degli edifici, in modo da renderli intimamente confortevoli e proteggerli dai fattori climatici;

10. di una capacità tecnica che consenta di progettare edifici che rispondano alle esigenze degli utenti nei limiti imposti dal fattore costo e dai regolamenti in materia di costruzione;

11. di una conoscenza adeguata delle industrie, organizzazioni, regolamentazioni e procedure necessarie per realizzare progetti di edifici e per l'integrazione dei piani nella pianificazione".

 ALLEGATO 2: La chiave di impostazione del libro L'art de calcular en l'arquitectura [1]

A grans trets, podríem classificar els càlculs dels arquitectes en els tipus següents:

a) Càlculs constructius
Són els càlculs inherents a l'edificació en sentit estricte: la representació topogràfica del terreny, l'estudi de la mecànica del sòl, fonamentacions, moviments de terres, etc. fins arribar a la construcció efectiva de l'obra i el seu control de qualitat.

b) Càlculs estructurals
Són els propis de l'estructura de l'edificació i asseguren per sobre de tot la rigidesa de l'obra. En una subtil combinació de conceptes de mecànica, resistència de materials, equacions diferencials, càlculs de moments, torsions, flexions, etc., és possible crear aquesta estructura que sovint apareix disimulada i maquillada per altres elements, però sense la qual res no romandria dret.

c) Càlculs de condicionament i serveis
Integrats a l'edifici, hom troba un món complex d'elements elèctrics, mecànics, acústics, lumínics, calorífics, etc. Cal fer càlculs relatius a la integració en la construcció i càlculs sobre el funcionament específic dels elements en qüestió. Matemàtica, física i enginyeria troben aquí un bon camp per fer-hi aportacions.

d) Càlculs projectuals
El projecto, com a element vertebrador de l'obra, ha de tenir en compte necessàriament la integració de totes les components i d'axiò deriven sovint càlculs específics: pilars, canonades, esteses de cables, envans, endolls, ascensors, etc. podrien esdevenir una barreja esperpèntica si no hi hagués un disseny global de l'obra.

e) Càlculs gràfics
Les tècniques d'expressió gràfica contenen, de fet, un bon gruix de càlculs que acaben permetent la resolució gràfica dels problemes. Marcar un punt de fuga, distingir les escales convenients per presentar els diferents elements o fer palesa la forma d'una volta o d'una escala de cargol pressuposen un joc geomètric fi, no mancat ni de mesura ni d'altres components matemàtiques.

f) Càlculs legals
Les obres són realitzades en un lloc precís tenint en compte una normativa legal que en fixa limitacions molt diverses. Calcular fondàries edificables, alçàries, patis de llum, ventilacions mínimes, plans d'evacuació, resistències al foc, etc. són problemes difícils de resoldre, però inexcusables.

g) Càlcils de planificació
La realització efectiva d'un projecte sempre porta aparellada una bona planificació respecte dels diferents equips i professionals que hi intervenen, una regulació temporal imprescindible, i un càlcul econòmic acurat que faci l'obra viable i, si pot ser, rendible (!). Organigrames, grafs, sistemes d'organització, càlculs financers, càlculs actuarials, etc., són el nostre pa de cada dia; i càlculs d'assegurances per allò del «per si de cas».

BIBLIOGRAPHY
[1] Claudi ALSINA i CATALÀ, L'art de calcular en l'arquitectura, Edicions UPC, Universitat Politecnica de Catalunya, 1993.
[2] Jean-Marie DELARUE, "Structures gonflables", Bilan de l'Atelier à l'Isle d'Abeau en octobre 1997, EAPV Bulletin d'information de l'Ecole d'Architecture Paris-Villemin, n. 29, 1998.
[3] Jean-Marie DELARUE, Morphogénèse, Paris, UPA, n. 1.
[4] Roberto MASIERO, Michela MAGUOLO e Vittoria POLESE, (editors), Architetti in Europa. Formazione e professione, Dossier di una ricerca finanziata dal "Jacques Delors Research Grant within the European Culture", dell'Accademia di Yuste con il sostegno della Comm. Europea (in corso di stampa).
[5] Joël SAKAROVITCH, "Architecture et représentation. Géométrie descriptives et Stéréotomie", EAPV, Bulletin d'information de l'Ecole d'Architecture Paris-Villemin, n. 29, 1998.
[6] Joël SAKAROVITCH, Épures d'architecture, Birkhäuser Verlag, 1998.
[7] Jean-Louis VIOLEAU (ed.), Quel enseignement pour l'architecture?, Editions Recherches - École d'architecture Paris-Belleville, 1999.

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Orietta Pedemonte, professore associato, insegna matematica presso la Facoltà di Architettura dell'Università di Genova ed alla Scuola di Specializzazione in Restauro dei Monumenti. I suoi interessi di ricerca sono stati in passato legati alla functional analysis, mentre attualmente sono rivolti a)allo studio dei legami tra matematica, arte, architettura nel loro sviluppo storico; b) metodi matematici in urbanistica e geographical information systems. Si occupa inoltre di ricerca didattica ed educativa. E' membro della Commissione italiana dell'Unesco.

 The correct citation for this article is:
Orietta Pedemonte, "Mathematica per architettura: alcune esperienze europee", Nexus Network Journal, vol. 3, no. 1 (Winter 2001), http://www.nexusjournal.com/Didactics-Pedemonte-it.html

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