Séminaires et Congrès - 4 - pages 201-233

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Global Analysis and Harmonic Analysis
Jean Pierre Bourguignon - Thomas Branson - Oussama Hijazi (Ed.)
Séminaires et Congrès 4 (2000), xxiv+328 pages

Analytic continuation in Representation Theory and Harmonic Analysis
Gestur Ólafsson
Séminaires et Congrès 4 (2000), 201-233
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Résumé :
Prolongement analytique en théorie des représentations et analyse harmonique
Dans cet article, nous considérons des questions en analyse harmonique et en théorie des représentations concernant deux formes réelles différentes G/H et Gc/H d'un espace symétrique semi-simple complexe $G_{ \mathbb {C} }/H_{ \mathbb {C} }$. Nous établissons un lien entre les représentations de G et de Gc à l'aide de la théorie des représentations involutives des semi-groupes et la symétrie de réflexion. On examine la question de la généralisation de la transformée de Segal-Bargmann aux formes réelles des domaines symétriques bornés. Cette transformée envoie l'espace $L^{c}(H/H\cap K)$ dans l'espace de représentations d'une représentation du poids maximum de G. Nous montrons comment cette transformée est liée à la symétrie de réflexion, ce qui montre que c'est une transformée naturelle liée à la théorie des représentations. Finalement, on étudie la relation entre les caractères H-sphériques des représentations et les fonctions sphériques.

Abstract:
In this paper we discuss topics in harmonic analysis and representation theory related to two different real forms G/H and Gc/H of a complex semisimple symmetric space $G_{ \mathbb {C} }/H_{ \mathbb {C} }$. We connect representations of G and Gc using the theory of involutive representations of semi-groups and reflection symmetry. We discuss how to generalize the Segal-Bargmann transform to real forms of bounded symmetric domains. This transform maps $L^{2}(H/H\cap K)$ into the representation space of a highest weight representation of G. We show how this transform is related to reflection symmetry, which shows that it is a natural transform related to representation theory. Finally we discuss the connection of the H-spherical characters of the representations and relate them to spherical functions.

ISBN : 2-85629-094-9