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Geometry of Toric Varieties
Laurent Bonavero - Michel Brion (Ed.)
Séminaires et Congrès 6 (2002), xiv+272 pages

How to calculate $A\operatorname {-Hilb}\: \mathbb {C} ^{3}$
Alastair Craw - Miles Reid
Séminaires et Congrès 6 (2002), 129-154
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Résumé :
Comment calculer $A\operatorname {-Hilb}\: \mathbb {C} ^{3}$
Nakamura [Iku Nakamura, Hilbert schemes of abelian group orbits , J. Algebraic Geom. 10 (2001), no. 4, 757-779] a introduit le G-schéma de Hilbert $G\operatorname {-Hilb}\: \mathbb {C} ^{3}$ pour un sous-groupe fini $G\subset {\rm SL}(3, \mathbb {C} )$, et il a conjecturé que ce schéma est une résolution crépante du quotient $\mathbb {C} ^3/G$. Il a démontré cette conjecture pour un sous-groupe abélien diagonal A, en introduisant un algorithme explicite qui calcule $A\operatorname {-Hilb}\: \mathbb {C} ^{3}$. Dans cette note, on calcule $A\operatorname {-Hilb}\: \mathbb {C} ^{3}$ de façon beaucoup plus simple, en termes d'un jeu avec les fractions continues et les pavages réguliers par des triangles équilatéraux.

Mots clefs : Schéma de Hilbert des orbites de G, correspondance de McKay, géométrie torique

Abstract:
Nakamura [Iku Nakamura, Hilbert schemes of abelian group orbits , J. Algebraic Geom. 10 (2001), no. 4, 757-779] introduced the G-Hilbert scheme $G\operatorname {-Hilb}\: \mathbb {C} ^{3}$ for a finite subgroup $G\subset {\rm SL}(3, \mathbb {C} )$, and conjectured that it is a crepant resolution of the quotient $\mathbb {C} ^3/G$. He proved this for a diagonal Abelian group A by introducing an explicit algorithm that calculates $A\operatorname {-Hilb}\: \mathbb {C} ^{3}$. This note calculates $A\operatorname {-Hilb}\: \mathbb {C} ^{3}$ much more simply, in terms of fun with continued fractions plus regular tesselations by equilateral triangles.

Key words: Hilbert scheme of G-orbits, McKay correspondence, toric geometry

Class. math. : 14C05 (14L30)

ISBN : 2-85629-122-8