Séminaires et Congrès - 9 - pages 25-50

Séminaires et Congrès9

Actes des journées mathématiques à la mémoire de Jean Leray - (Nantes, 2002)
Laurent Guillopé - Didier Robert (Éd.)
Séminaires et Congrès 9 (2004), xviii+208 pages

Singularités réelles isolées et développements asymptotiques d'intégrales oscillantes
Daniel Barlet
Séminaires et Congrès 9 (2004), 25-50

Résumé :
Soit $ (X_{
\mathbb {R}
}, 0) $ un germe de sous-ensemble analytique réel à l'origine de $ 
\mathbb {R}
^N $ de dimension pure n+1 ayant une singularité isolée en . Soit

\begin{displaymath}
(f_{
\mathbb {R}
}, 0): (X_{
\mathbb {R}
}, 0) \to (
\mathbb {R}
, 0) \end{displaymath}

un germe de fonction analytique réelle ayant une singularité isolée en telle que sa complexifiée $f_{
\mathbb {C}
}$ s'annule sur le lieu singulier S de $ X_{
\mathbb {C}
} $. Nous supposerons également que la variété analytique réelle $X_{
\mathbb {R}
} \setminus \lbrace 0 \rbrace $ est orientable.
À chaque $ A \in H^0(X_{
\mathbb {R}
} \setminus \lbrace 0 \rbrace , 
\mathbb {C}
) $ nous associons un n-cycle $ \Gamma (A) $ (explicitement décrit) dans la fibre de Milnor complexe de $f_{
\mathbb {C}
}$ en tel que les termes non triviaux dans les développements asymptotiques quand $ \tau \to \pm \infty $ des intégrales oscillantes $ \int _A e^{i\tau f(x)} \varphi (x) $ soient détectés par la décomposition spectrale de $ \Gamma (A) $ par rapport à la monodromie de $f_{
\mathbb {C}
}$ en .

Mots clefs : Phase stationnaire, intégrale fibre, singularité d'hypersurface

Abstract:
Isolated real singularities and asymptoytic expansions for oscillating integrals
Let $ (X_{
\mathbb {R}
}, 0) $ be a germ of real analytic subset in $ (
\mathbb {R}
^N, 0) $ of pure dimension n+1 with an isolated singularity at . Let

\begin{displaymath}
(f_{
\mathbb {R}
}, 0): (X_{
\mathbb {R}
}, 0) \to (
\mathbb {R}
, 0) \end{displaymath}

a real analytic germ with an isolated singularity at , such that its complexification $f_{
\mathbb {C}
}$ vanishes on the singular set S of $ X_{
\mathbb {C}
} $. We also assume that $X_{
\mathbb {R}
} \setminus \lbrace 0 \rbrace $ is orientable.
To each $ A \in H^0(X_{
\mathbb {R}
} \setminus \lbrace 0 \rbrace , 
\mathbb {C}
) $ we associate a n-cycle $ \Gamma (A) $ (« explicitly » described) in the complex Milnor fiber of $f_{
\mathbb {C}
}$ at such that the non trivial terms in the asymptotic expansions of the oscillating integrals $ \int _A e^{i\tau f(x)} \varphi (x) $ when $ \tau \to \pm \infty $ can be read from the spectral decomposition of $ \Gamma (A) $ relative to the monodromy of $f_{
\mathbb {C}
}$ at .

Key words: Stationnary phase, fiber-integral, hypersurface singularity

Class. math. : 32S40, 32C30


ISBN : 2-85629-160-0
ISSN : 1285-2783