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Singularités franco-japonaises
Jean-Paul Brasselet - Tatsuo Suwa (Éd.)
Séminaires et Congrès 10 (2005), xxxii+460 pages

On arrangements of the roots of a hyperbolic polynomial and of one of its derivatives
Vladimir Petrov Kostov
Séminaires et Congrès 10 (2005), 139-153
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Résumé :
Sur les arrangements des racines d'un polynôme hyperbolique et d'une de ses dérivées
Nous considérons des polynômes moniques hyperboliques à une variable réelle, c'est-à-dire des polynômes dont toutes les racines sont réelles. Définissons le domaine d'hyperbolicité $\Pi$ de la famille de polynômes $P(x,a)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_n$, $a_i,x\in \mathbf {R}$, comme l'ensemble $\{ a\in \mathbf {R}^n\mid P \text {~est hyperbolique}\}$. L'article étudie la stratification de $\Pi$ définie par l'arrangement des racines de P et de P^(k), où $2\leq k\leq n-1$. Nous montrons que les strates sont des ensembles lisses, contractibles et semi-algébriques.

Mots clefs : Stratification; arrangement (configuration) de racines; polynôme (strictement) hyperbolique; domaine d'hyperbolicité

Abstract:
We consider real monic hyperbolic polynomials in one real variable, i.e. polynomials having only real roots. Call hyperbolicity domain $\Pi$ of the family of polynomials $P(x,a)=x^n+a_1x^{n-1}+\ldots +a_n$, $a_i,x\in \mathbf {R}$, the set $\{ a\in \mathbf {R}^n\mid P\text { is hyperbolic}\}$. The paper studies a stratification of $\Pi$ defined by the arrangement of the roots of P and P^(k), where $2\leq k\leq n-1$. We prove that the strata are smooth contractible semi-algebraic sets.

Key words: Stratification; arrangement (configuration) of roots; (strictly) hyperbolic polynomial; hyperbolicity domain

Class. math. : Primary 12D10; Secondary 14P05

ISBN : 2-85629-166-X
ISSN : 1285-2783