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Arithmetic, Geometry and Coding Theory (AGCT 2003)
Yves Aubry - Gilles Lachaud (Ed.)
Séminaires et Congrès 11 (2005), xviii+216 pages

Pointless curves of genus three and four
Everett W. Howe - Kristin E. Lauter - Jaap Top
Séminaires et Congrès 11 (2005), 125-141
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Résumé :
Courbes de genre 3 et 4 sans point
Une courbe sur un corps k est appelée une courbe sans point si elle n'a aucun point k-rationnel. Nous prouvons qu'il existe des courbes hyperelliptiques de genre trois sans point sur un corps fini $\mathbb {F} _q$ si et seulement si $q\le 25$, qu'il existe des quartiques planes sans point sur un corps fini $\mathbb {F} _q$ si et seulement si $q\le 23$, q=29 ou q=32, et qu'il existe des courbes de genre quatre sans point sur un corps fini $\mathbb {F} _q$ si et seulement si $q\le 49$.

Mots clefs : Courbe, courbe hyperelliptique, quartique plane, point rationnel, fonction zeta, borne de Weil, borne de Serre

Abstract:
A curve over a field k is pointless if it has no k-rational points. We show that there exist pointless genus-3 hyperelliptic curves over a finite field $\mathbb {F} _q$ if and only if $q\le 25$, that there exist pointless smooth plane quartics over $\mathbb {F} _q$ if and only if either $q\le 23$ or q=29 or q=32, and that there exist pointless genus-4 curves over $\mathbb {F} _q$ if and only if $q\le 49$.

Key words: Curve, hyperelliptic curve, plane quartic, rational point, zeta function, Weil bound, Serre bound

Class. math. : Primary 11G20; Secondary 14G05, 14G10, 14G15

ISBN : 2-85629-175-9
ISSN : 1285-2783