 Séminaires et Congrès - 11 - pages 75-110 | |
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Arithmetic, Geometry and Coding Theory (AGCT 2003)
Yves Aubry - Gilles Lachaud (Ed.)
Séminaires et Congrès 11 (2005), xviii+216 pages
On curves over finite fields
Arnaldo Garcia
Séminaires et Congrès 11 (2005), 75-110
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Résumé :
Courbes sur des corps finis
Nous présentons des résultats élémentaires sur les courbes sur les corps finis et leurs points rationnels. Nous avons fait un effort pour donner une présentation aussi simple que possible, la rendant accessible aux non spécialistes. Parmi ces résultats se trouvent : le théorème de Weil (l'hypothèse de Riemann dans ce contexte), son amélioration donnée par Serre, la borne de Ihara sur le genre pour les courbes maximales, genre et classification des courbes maximales, théorie de Stohr-Voloch des ordres de Frobenius pour les courbes planes, constructions de courbes sur les corps finis ayant beaucoup de points rationnels, les formules explicites de Serre, étude asymptotique des courbes sur les corps finis et des codes correcteurs d'erreurs (la connexion entre elles est un célèbre théorème de Tsfasman-Vladut-Zink), tours récursives de courbes et certaines tours particulièrement intéressantes (atteignant la borne de Drinfeld-Vladut sur des corps finis de cardinal un carré ou atteignant la borne de Zink sur des corps finis de cardinal un cube).
Mots clefs : Courbes algébriques, corps finis, points rationnels, genre, tours de courbes, limite d'une tour, codes correcteurs d'erreurs linéaires
Abstract:
In these notes we present some basic results of the Theory of Curves over Finite Fields. Assuming a famous theorem of A. Weil, which bounds the number of solutions in a finite field (i.e., number of rational points) in terms of the genus and the cardinality of the finite field, we then prove several other related bounds (bounds of Serre, Ihara, Stohr-Voloch, etc.). We then treat Maximal Curves (classification and genus spectrum). Maximal curves are the curves attaining the upper bound of A. Weil. If the genus of the curve is large with respect to the cardinality of the finite field, Ihara noticed that Weil's bound cannot be reached and he introduced then a quantity A(q) for the study of the asymptotics of curves over a fixed finite field. This leads to towers of curves and we devote special attention to the so-called recursive towers of curves. We present several examples of recursive towers with good asymptotic behaviour, some of them attaining the Drinfeld-Vladut bound. The connection with the asymptotics of linear codes is a celebrated result of Tsfasman-Vladut-Zink, which is obtained via Goppa's construction of codes from algebraic curves over finite fields.
Key words: Algebraic curves, finite fields, rational points, genus, linear codes, asymptotics, tower of curves
Class. math. : 14H05, 11G20 , 14G05