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Formes modulaires et transcendance - Colloque $\mbox {\font \EuScriptb =eusb10 \EuScriptb JEUNES}$
Stéphane Fischler - Éric Gaudron - Samy Khémira (Éd.)
Séminaires et Congrès 12 (2005), xiv+271 pages

Formes modulaires et périodes
François Martin - Emmanuel Royer
Séminaires et Congrès 12 (2005), 1-117

Résumé :
L'objet de ce cours est de présenter la théorie des formes modulaires et certains de ses développements récents. Dans un premier chapitre, on développe la théorie des formes modulaires sur les sous-groupes de congruence $\Gamma _0(N)$. Dans un deuxième chapitre, on présente la notion de périodes de formes modulaires sur le groupe modulaire. On en déduit des résultats concernant les structures rationnelles des espaces de formes modulaires. Dans une troisième partie, on étudie les structures différentielles sur les espaces de formes modulaires. C'est l'occasion de développer les notions de forme quasimodulaire et forme modulaire presque holomorphe introduites par Zagier. Enfin, en annexe, on étudie la théorie des formes modulaires avec systèmes multiplicatifs.

Mots clefs : Forme modulaire, période de forme parabolique, période de forme non parabolique, produit scalaire de Petersson, crochet de Rankin-Cohen, fonction L, isomorphisme d'Eichler-Shimura, structure rationnelle, structure différentielle, forme quasimodulaire, forme modulaire presque holomorphe, valeur spéciale, système multiplicatif

Abstract:
Periods and modular forms
The aim of this course is the presentation of the theory of modular forms and some of its recent developments. In the first chapter, we develop the theory of modular forms on the congruence subgroups $\Gamma _0(N)$. In the second chapter, we present the notion of periods of modular forms on the modular group. We deduce some results concerning the rational structures on the spaces of modular forms. In a third chapter, we study the differential structures on spaces of modular forms. We introduce, in that occasion, the notions of quasimodular forms and quasi holomorphic modular forms developped by Zagier. In an appendix, we study the modular forms with multiplicative systems.

Key words: Modular form, period of cuspidal form, period of non cuspidal modular form, Petersson scalar product, Rankin-Cohen bracket, L function, Eichler-Shimura isomorphism, rational structure, differential structure, quasimodular form, quasi holomorphic modular form, special value, multiplicative system

Class. math. : 11F03, 11F06, 11F11, 11F25, 11F30, 11F37, 11F67

ISBN : 2-85629-176-7
ISSN : 1285-2783