 Séminaires et Congrès - 13 - pages 127-144 | |
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Groupes de Galois arithmétiques et différentiels. Actes du colloque du CIRM (Luminy, 8-13 Mars 2004)
Daniel Bertrand - Pierre Dèbes (Éd.)
Séminaires et Congrès 13 (2006), xxii+391 pages
An Introduction to the Modular Tower Program
Pierre Dèbes
Séminaires et Congrès 13 (2006), 127-144
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Résumé :
Une introduction au programme des tours modulaires
Les tours modulaires ont été introduites par M. Fried. Ce sont des tours d'espaces de Hurwitz dont les niveaux correspondent aux quotients caractéristiques du p-revêtement universel de Frattini d'un groupe fini fixé, le premier p étant un diviseur de l'ordre du groupe. La tour des courbes modulaires de niveaux pn (n>0) est l'exemple initial: le groupe fini est dans ce cas le groupe diédral d'ordre 2p. Il y a des conjectures diophantiennes sur les tours modulaires, qui s'inspirent de la situation des courbes modulaires: l'esprit est que les points rationnels sur un corps de nombres fixé disparaissent au-delà d'un certain niveau. Dans cet article, qui est le premier d'une série de trois sur le sujet dans ce volume, après avoir revu la construction des tours modulaires, nous revenons sur ces conjectures, en examinons l'impact et expliquons quelques résultats.
Mots clefs : Tours modulaires, espaces de Hurwitz, théorie de Galois inverse, points rationnels
Abstract:
Modular towers have been introduced by M. Fried. They are towers of Hurwitz spaces, with levels corresponding to the characteristic quotients of the p-universal Frattini cover of a fixed finite group and with p a prime divisor of the order of the group. The tower of modular curves of levels pn (n>0) is the original example: the finite group is then the dihedral group of order 2p. There are diophantine conjectures on modular towers, inspired by modular curves: the spirit is that over a number field, rational points do not exist beyond a certain level. In this paper, which is the first of a series of three on this topic in this volume, after defining modular towers, we discuss the significance of these conjectures and explain some results.
Key words: Modular towers, Hurwitz spaces, inverse Galois theory, rational points
Class. math. : Primary 14G32 14G05 12F12 14H10 14H30; Secondary 11Gxx 14Dxx