Séminaires et Congrès - 13 - pages 165-233

Séminaires et Congrès13

Groupes de Galois arithmétiques et différentiels. Actes du colloque du CIRM (Luminy, 8-13 Mars 2004)
Daniel Bertrand - Pierre Dèbes (Éd.)
Séminaires et Congrès 13 (2006), xxii+391 pages

The Main Conjecture of Modular Towers and its higher rank generalization
Michael D. Fried
Séminaires et Congrès 13 (2006), 165-233
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Résumé :
La conjecture principale sur les tours modulaires et sa généralisation en rang supérieur
Le genre des courbes projectives est un invariant discret qui permet une première classification des relations algébriques en deux variables. On peut ainsi se concentrer sur les espaces de modules connexes ${\mathcal M }_g$ des courbes de genre g donné. Pourtant de nombreux problèmes nécessitent la donnée supplémentaire d'une fonction sur la courbe. Les espaces de modules correspondants sont les espaces de Hurwitz, dont il existe plusieurs variantes, répondant à des besoins divers. Une classe de Nielsen (§1) est un ensemble, constitué à partir d'un groupe G et d'un ensemble ${\bf C}$ de $r\geq 3$ classes de conjugaison de G, qui décrit la monodromie de la fonction. C'est un analogue frappant du genre.

En utilisant les revêtements de Frattini de G, chaque classe de Nielsen fournit un système projectif de classes de Nielsen dérivées, pour tout premier p divisant $\vert G\vert $. Un système projectif non vide (infini) d'orbites d'actions de tresses dans ces classes de Nielsen est une branche infinie d'un arbre de composantes. Cela correspond à un système projectif de composantes irréductibles (de dimension r-3) de $\{\mathcal H (G_{p,k}(G),{\mathbf C })\}_{k=0}^\infty $, la tour modulaire. La tour classique des courbes modulaires $\{Y_1(p^{k+1})\}_{k=0}^\infty $ (le cas le plus simple où G est le groupe diédral D2p, r=4 et ${\mathbf C}$ la classe d'involution répétée 4 fois) en est un avatar.

La conjecture principale (faible) dit que, si G est p-parfait, il n'y a pas de points rationnels au delà d'un niveau suffisamment élevé d'une branche de composantes. Quand r=4, les tours modulaires (privées des pointes) sont des systèmes de quotients du demi-plan supérieur au-dessus de la droite projective de paramètre j. Nous thèmes.

Abstract:
The genus of projective curves discretely separates decidedly different two variable algebraic relations. So, we can focus on the connected moduli ${\mathcal M }_g$ of genus g curves. Yet, modern applications require a data variable (function) on such curves. The resulting spaces are versions, depending on our need from this data variable, of Hurwitz spaces. A Nielsen class is a set defined by $r\ge 3$ conjugacy classes ${\mathbf C}$ in the data variable monodromy G. It gives a striking genus analog.

Using Frattini covers of G, every Nielsen class produces a projective system of related Nielsen classes for any prime p dividing $\vert G\vert $. A nonempty (infinite) projective system of braid orbits in these Nielsen classes is an infinite $(G,\mathbf C )$ component (tree) branch. These correspond to projective systems of irreducible (dim r-3) components from $\{\mathcal H (G_{p,k}(G),{\mathbf C })\}_{k=0}^\infty $, the $(G,\mathbf C ,p)$ Modular Tower MT. The classical modular curve towers $\{Y_1(p^{k+1})\}_{k=0}^\infty $ (simplest case: G is dihedral, r=4, ${\mathbf C}$ are involution classes) are an avatar.

The (weak) Main Conjecture says, if G is p-perfect, there are no rational points at high levels of a component branch. When r=4, MTs (minus their cusps) are systems of upper half plane quotients covering the j-line. Our topics.

Key words: Moduli spaces of covers, j-line covers, braid group and Hurwitz monodromy group, Frattini and Spin covers, Serre's lifting invariant

Class. math. : Primary 11F32, 11G18, 11R58; Secondary 20B05, 20C25, 20D25, 20E18, 20F34


ISBN : 0
ISSN : 1285-2783