 Séminaires et Congrès - 14 - pages 169-198 | |
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Théories asymptotiques et équations de Painlevé - Angers, juin 2004
Éric Delabaere - Michèle Loday-Richaud (Éd.)
Séminaires et Congrès 14 (2006), xxvi+363 pages
Point configurations, Cremona transformations and the elliptic difference Painlevé equation
Kenji Kajiwara - Tetsu Masuda - Masatoshi Noumi - Yasuhiro Ohta - Yasuhiko Yamada
Séminaires et Congrès 14 (2006), 169-198
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Résumé :
Configurations de points, transformations de Cremona et équation de Painlevé aux différences elliptique
Dans le cadre de l'action birationnelle du groupe de Weyl sur l'espace des configurations de points en position générale dans un espace projectif on établit des fondements théoriques en vue d'une généralisation aux dimensions supérieures de l'équation de Painlevé aux différences elliptique. On réalise le groupe de Weyl comme un groupe de transformations de Cremona à coefficients fonctions elliptiques grâce à une paramétrisation elliptique des configurations de points. Une théorie des fonctions permet de traduire ce système de Cremona en un système d'équations bilinéaires de type Hirota-Miwa pour les fonctions sur le réseau. On en donne une application à l'équation de Painlevé aux différences elliptique.
Mots clefs : équation de Painlevé discrète, transformation de Cremona, espace des configurations, fonction elliptique
Abstract:
A theoretical foundation for a generalization of the elliptic difference Painlevé equation to higher dimensions is provided in the framework of birational Weyl group action on the space of point configurations in general position in a projective space. By introducing an elliptic parametrization of point configurations, a realization of the Weyl group is proposed as a group of Cremona transformations containing elliptic functions in the coefficients. For this elliptic Cremona system, a theory of -functions is developed to translate it into a system of bilinear equations of Hirota-Miwa type for the -functions on the lattice. Application of this approach is also discussed to the elliptic difference Painlevé equation.
Key words: discrete Painlevé equation, Cremona transformation, configuration space, elliptic function
Class. math. : Primary: 39A20 Secondary: 14E07, 14N20, 14H52, 33E17