 Séminaires et Congrès - 14 - pages 21-52 | |
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Théories asymptotiques et équations de Painlevé - Angers, juin 2004
Éric Delabaere - Michèle Loday-Richaud (Éd.)
Séminaires et Congrès 14 (2006), xxvi+363 pages
Special Polynomials Associated with Rational and Algebraic Solutions of the Painlevé Equations
Peter A. Clarkson
Séminaires et Congrès 14 (2006), 21-52
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Résumé :
Polynômes spéciaux associés aux solutions rationnelles ou algébriques des équations de Painlevé
On peut exprimer les solutions rationnelles des équations 
, 
et 
en fonction des dérivées logarithmiques de polynômes spéciaux définis par des équations différences-différentielles bilinéaires d'ordre deux couplées et équivalentes à l'équation de Toda.
Dans cet article nous étudions la configuration des racines de ces polynômes spéciaux et des polynômes spéciaux associés aux solutions algébriques des équations de Painlevé 
et . Nous mettons en évidence une structure étonnante, fortement symétrique et régulière. En outre, appliquant la théorie hamiltonienne à , et , nous montrons que tous ces polynômes spéciaux, définis par des équations différences-différentielles, satisfont aussi à des équations différentielles ordinaires bilinéaires d'ordre 4.
Mots clefs : hamiltoniens, équations de Painlevé, solutions rationnelles
Abstract:
Rational solutions of the second, third and fourth Painlevé equations (-) can be expressed in terms of logarithmic derivatives of special polynomials that are defined through coupled second order, bilinear differential-difference equations which are equivalent to the Toda equation.
In this paper the structure of the roots of these special polynomials, and the special polynomials associated with algebraic solutions of the third and fifth Painlevé equations, is studied and it is shown that these have an intriguing, highly symmetric and regular structure. Further, using the Hamiltonian theory for -, it is shown that all these special polynomials, which are defined by differential-difference equations, also satisfy fourth order, bilinear ordinary differential equations.
Key words: Hamiltonians, Painlevé equations, rational solutions
Class. math. : 33E17, 34M35