 Séminaires et Congrès - 14 - pages 341-356 | |
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Théories asymptotiques et équations de Painlevé - Angers, juin 2004
Éric Delabaere - Michèle Loday-Richaud (Éd.)
Séminaires et Congrès 14 (2006), xxvi+363 pages
Solutions asymptotiques et méromorphes d'équations aux q-différences
Changgui Zhang
Séminaires et Congrès 14 (2006), 341-356
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Résumé :
Nous établissons le résultat suivant : étant donnée une équation aux q-différences linéaire et à coefficients analytiques à l'origine du plan complexe, si toutes les pentes de son polygone de Newton sont entières, alors il existe une solution analytique sur un voisinage de 0 dans privé de et d'une q-spirale. Cette spirale qui contient tous les pôles de la solution proches de peut être fixée à l'avance de façon générique.
Nous commentons, en outre, le cas des équations non-linéaires pour lesquelles une extension en termes de -transséries paraît incontournable.
Mots clefs : Equation aux q-différences, sommabilité, fonction thêta
Abstract:
Asymptotic and meromorphic solutions of q-difference equations
We prove the following result: given a linear analytic q-difference equation at the origin of the complex plane, if all slopes of its Newton polygon are integers, then, there exists an analytic solution in a neighbourhood of 0 in punctured at the origin and at a q-spiral. Such a spiral which contains all poles of this solution near can be chosen a priori and generically.
A discussion of the non linear cases where an extension involving -transseries seems necessary is also provided.
Key words: q-difference equation, summability, theta function
Class. math. : 30E05, 30E99, 33D10, 39B22, 40G10