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Volume 27 (April 1995) Number 2
Analyses: Using open-ended problems in mathematics
Introduction: Use of open-ended problems
Erkki Pehkonen, Helsinki (Finland)
The paper deals with some background information on the subject. First, the recent development in using open-ended problems is discussed. The emphasis will be on the concept of "open problems" which was one of the key questions in the PME (Psychology of Mathematics Education) discussions group. In addition, one problem field (tangram) will be described as an example.
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Einführung: Offene Probleme. In dem Beitrag werden einige Hintergrundinformationen zum Thema gegeben. Die neuere Entwicklung des offenen Problemlösens wird diskutiert, wobei der Schwerpunkt auf dem Begriff "offene Probleme" liegt, eine der Schlüsselfragen der PME (Psychology of Mathematics Education)-Diskussionsgruppe. Tangram wird als Beispiel eines Problemfeldes beschrieben.
Teaching and evaluating using "open-ended
problems" in classroom
Nobuhiko Nohda, Tsukuba (Japan)
We will mention some findings with regard to the use of "Open-ended problems" and make clear the meaning of "activities of both mathematics and students are open". The aims of teaching using "open-ended problems" are to cultivate and foster both creative activities by students and mathematical thinking of problem solving simultaneously. Quantitative and qualitative evaluations of mathematical activities, which are the expression of both mathematical ideas and processes of solutions of the problems, are extremely difficult. In order to find a way out of the difficulty, we made a model for examining these activities. The model will be convenient enough for us to deal with students' diverse processes of solving the problem.
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Offene Probleme: Unterricht und Bewertung. Einige Ergebnisse des Arbeitens mit offenen Problemen werden angesprochen. Es wird erläutert, was darunter zu verstehen ist, dass sowohl mathematische Aktivitäten wie auch die Aktivitäten der Schüler offen sind. Die Ziele eines Unterrichts, der offene Probleme mit einbezieht, müssen gepflegt, kreative Aktivitäten der Schüler und ihr mathematisches Denken beim Problemlösen gleichzeitig gefördert werden. Quantitative und qualitative Bewertungen mathematischer Aktivitäten, die Ausdruck mathematischer Gedanken wie auch von Problemlöseprozessen sind, sind äusserst schwierig. Um diese Schwierigkeiten zu umgehen, wurde ein Modell entwickelt.
The challenges of keeping open problem-solving open in
school mathematics
Kaye Stacey, Melbourne (Australia)
Firstly, a few significant examples of the current use of open-ended problems in Australian schools are given. These illustrate the variety of problems used, the variety of goals that teachers have in using them and the different emphases of open-ended problem solving for different age groups. These are linked to recent curriculum statements. Secondly, recent experiences in introducing assessment of open-ended problem solving in the state of Victoria are discussed. Many compromises were made to arrive at a workable system, to meet the goals of introducing open problems whilst also being seen to be fair to students, clear in its requirements and to deliver publically credible assessment. Some examples of the problems used and how they have been modified in the first years of operation are given. Reference is made throughout to the few research studies on student outcomes that have been undertaken.
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Die Herausforderung, offenes Problemlösen in der Schulmathematik offen zu halten. Zunächst werden einige wichtige Beispiele für offenes Problemlösen in australischen Schulen gegeben. Diese zeigen die Vielfalt der benutzten Aufgaben, die verschiedenen Ziele der Lehrer bei ihrer Nutzung sowie die verschiedenen Schwerpunkte beim offenen Problemlösen für einzelne Altersstufen. Eine Verbindung zu neueren Lehrplanforderungen wird hergestellt. Sodann werden aktuelle Erfahrungen bei der Bewertung offenen Problemlösens im Staat Victoria diskutiert. Um ein arbeitsfähiges System zu bekommen, mussten Kompromisse gemacht werden: die Ziele der Einbeziehung des offenen Problemlösens müssen erreicht werden und gleichzeitig soll man den Schülern gegenüber fair bleiben, die Anforderungen sollen klar sein und die Bewertung öffentlich glaubwürdig. Beispiele, wie Aufgaben in den ersten Jahren ihrer Einführung modifiziert wurden, werden gegeben. Auf die wenigen vorhandenen Forschungsergebnisse zu diesem Bereich wird immer wieder verwiesen.
The nature and use of open problems in mathematics
education: Mathematical and pedagogical perspectives
Edward A. Silver, Pittsburgh (USA)
This article considers open problems in light of an apparent growth of interest in their use in mathematics education. Several varieties of openness are considered, including problems that are unsolved in the field of mathematics, problems that are open with respect to the solution method, those that are open to interpretation of the problem or of its plausible solutions, and those that appear to invite other problems as a natural follow-up to the given problem. The link between open problems and mathematical problem posing is also explored. An argument is made that open problems and their associated processes are central to the discipline of mathematics and the nature itself and as it occurs in the application of mathematics to solve applied problems. Various uses of open problems in mathematics instruction and assessment are discussed, as is the emergent research base for such use. An argument is made for systematic research on the nature of the cognitive processes associated with the solution of open problems and also on the use of open problems in instruction and assessment.
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Merkmale und Gebrauch offener Probleme im Mathematikuntericht: mathematische und pädagogische Perspektiven. Offene Aufgaben werden mit Blick auf das offensichtlich wachsende Interesse, das man ihnen im Mathematikunterricht entgegenbringt, diskutiert. Verschiedene Definitionen dessen, was "Offenheit" bedeuten kann, werden angesprochen: ungelöste Probleme der Mathematik, Aufgaben, die bzgl. ihrer Lösungsmethode offen sind, solche, die offen sind bzgl. der Interpretation des Problems oder seiner einleuchtenden Lösungen sowie Aufgaben, die natürlicherweise zu weiteren Problemen hinführen. Die Beziehung zwischen offenen Problemen und mathematischem Problemlösen wird untersucht. Ein Argument ist, dass offene Probleme und die zugehörigen Prozesse im Mittelpunkt der mathematischen Disziplin und des mathematischen Denkens stehen. Verschiedene Möglichkeiten, offene Probleme im Mathematikunterricht zu nutzen, und ihre Bewertung werden diskutiert wie auch die sich neu entwickelnde, diesbezügliche Forschung. Plädiert wird für eine systematische Forschung bzgl. der kognitiven Prozesse, die mit dem Lösen offener Aufgaben ablaufen, und des Einbringens offener Probleme in den Unterricht und die nachfolgende Leistungsmessung.
Information
Mathematical thought as a focus of our culture
Miguel de Guzmán, Madrid (Spain)
The impact of mathematics upon culture is a very great one and extremely diverse in its forms. One could think of its impacts through technology and science in general, of the influence mathematical thought has exerted upon the different forms of art, and so on. In the following I shall restrict myself to present some ideas that perhaps might contribute to stimulate the investigation about the possible correct ways to direct such influence in the future. In the first place we shall look at the nature of mathematical activity today, trying to discover what are the main traits of this peculiar kind of exploration of the reality. Considering the impacts of mathematics upon human culture we shall analyze the reasons behind the permanent nearness of philosophers and mathematicians along history. Finally we shall consider in a concise way some of the risks the current trends towards mathematization in our culture are subject to.
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Mathematisches Denken als Schwerpunkt unserer Kultur. Die Auswirkungen der Mathematik auf die Kultur sind zahlreich und vielfältig in ihrer Form. Sie erstrecken sich über die verschiedenen Wissenschaften und die Technik bis zu den Kunstbereichen. Im Vortrag werden einige Ideen entwickelt, die vielleicht dazu beitragen können, solche Wirkungen zu bewerten und sie in positive Richtungen zu lenken. Zunächst wird versucht, die Natur heutiger mathematischer Tätigkeit durch Herausarbeitung einiger Hauptzüge der für die Mathematik charakteristischen Art der Erforschung von Wirklichkeit zu erfassen. Insbesondere wird der Einfluss auf die Kultur an den Hintergründen der historisch durchgängigen Nähe der Philosophie zur Mathematik erörtert. Am Ende steht eine Analyse der Gefahren, die mit einigen der gegenwärtigen Tendenzen der Mathematisierung unserer Kultur verbunden sind.
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