Analyses: 8th International Conference on Geometry. Part 1
Part 2 

Geometrie im Kibbuz. 8. Internationaler Geometriekongress
Herbert Zeitler, Bayreuth (Germany)

 Ein kurzer Bericht über die Sektion ''Geometrie -- Schule'' dieser Tagung und eine Liste der Vortragsthemen dieser Sektion.

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 Geometry in Israel. 8th International conference on geometry. A short report of the conference section ''Geometry -- school'' including a list of papers presented to this section.

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Transformation! - A graphing calculator activity to practice transformations of functions
Dane R. Camp, Glen Ellyn, IL (USA)

An understanding of function transformation is essential for mastering mathematics in high school and beyond. The classroom activity presented here and the game, "Transformation!", are designed so that students can develop fluency in working with transformations of functions. Both take advantage of the technology of the graphing calculator and the method of cooperative learning.

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Transformation! - Eine Aktivität zum Umgang mit Transformationen von Funktionen mit Unterstützung graphischer Taschenrechner. Das Verständnis für Transformationen von Funktionen ist wesentlich für eine Beherrschung der Mathematik in der Sekundarstufe und darüberhinaus. Die hier vorgestellte Unterrichtsaktivität und das Spiel "Transformation!" sind so konzipiert, dass Schüler Fertigkeiten beim Arbeiten mit Transformationen von Funktionen entwickeln können. Beide nutzen die Technik graphischer Taschenrechner sowie die Methode des kooperativen Lernens.

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The Geometry of M. C. Escher's Circle- Limit-Woodcuts
Peter Herfort, Tübingen (Germany)

Maurits Cornelis Escher has been impelled by the idea of visualizing infinity within the finite region offered by the frame of a normal picture. After some interesting attempts, which did not at all satisfy him, he received inspiration from a printed figure given in a paper on symmetry by the outstanding geometer Harold Scott MacDonald (called Donald) Coxeter. This figure served to illustrate a tessellation in the hyperbolic plane represented by the interior of a circle according to a geometric model proposed by Jules Henri Poincaré. The points of the limiting circle (called Circle Limit in the theory of automorphic functions) have infinite hyperbolic distance from the interior points of the hyperbolic plane. As a consequence the tiles of the tessellation appear to decrease infinitely when passing closer and closer to the border. This was exactly the idea Escher needed in order to make infinity visible. So in the years 1958 to 1960 he produced four woodcuts based on the idea of hyperbolic tilings and patterns, though he claimed not to understand the mathematical background of his pictures. The lecture presents a mathematical analysis joined by a computer-reconstruction of Escher's Circle-Limit-Woodcuts. The mystery of these pictures remains untouched and the ingenuity of their invention and construction emerges in even greater lucidness.

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Die Geometrie von M.C. Eschers Kreislimit-Holzschnitten.  Maurits Cornelis Escher suchte intensiv nach Möglichkeiten, mit graphisch-malerischen Mitteln unendliche Wiederkehr in endlichen Figuren darzustellen. Nach einigen interessanten Versuchen, die ihn jedoch nicht völlig befriedigten, stieß er in einer Abhandlung über Symmetrie des bedeutenden Geometers Harold Scott MacDonald (gen. Donald) Coxeter auf eine Abbildung, die er für sein Vorhaben als Offenbarung empfand. Die Abbildung zeigt eine Parkettierung der hyperbolischen Ebene, die man sich - einer Idee von Jules Henri Poincaré folgend - als das Innere eines Kreises vorstellen kann. Die Punkte des Randes (in der Theorie der automorphen Funktionen als Grenzkreis bezeichnet) haben in dieser Geometrie unendlichen Abstand von den inneren Punkten der hyperbolischen Ebene. Infolgedessen scheinen die Pflastersteine des Parketts zum Kreisrand hin unaufhaltsam zu schrumpfen, obwohl sie in der hyperbolischen Geometrie kongruent sind. Escher erkannte hier ein Prinzip, das er für seine Vorstellungen von der Visualisierung des Unendlichen in einer endlichen Figur für hervorragend geeignet hielt. So entstanden in den Jahren 1958 bis 1960 die vier sogenannten Kreislimit-Holzschnitte, in denen er hyperbolische Parkettierungen realisierte, wobei er stets betonte, den mathematischen Hintergrund seiner Bilder nicht zu verstehen. In diesem Beitrag wird eine mathematische Analyse der Kreislimit-Holzschnitte gegeben und mit dem Versuch einer Computer-Rekonstruktion verknüpft. Das Geheimnis dieser Bilder wird dadurch nicht angetastet. Vielmehr tritt die konstruktive Phantasie Eschers mit umso größerer Deutlichkeit hervor.

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Felix Klein meets Napoléon. Dedicated to Prof. R. Artzy
Monica Klein, Haifa (Israel)

In this article we will show how, by teaching our students geometric transformations, we can help them see the way to the solution when faced with a challenging geometric problem. In this way they will understand that they should not let themselves be restricted by the tools they use.

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Felix Klein trifft Napoleon. Im Rahmen der Abbildungsgeometrie zeigen wir, wie wir unseren Schülern helfen können, den Lösungsweg zu sehen, wenn sie mit einer herausfordernden Aufgabe konfrontiert sind. Auf diese Weise werden sie verstehen, dass sie sich nicht selbst durch die Werkzeuge einschränken, die sie benutzen.

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Information

Multiplying after the turn
Piet Verstappen, Enschede (Netherlands)

In education multiplying is usually viewed as repeated joining together and dividing as repeated taking away or, which comes to the same thing, as an equal distribution. This presentation springs from Antiquity, when thought was mostly concrete. In modern mathematics we have relation-numbers instead of image-numbers and likewise multiplying is a facet of relational thinking. The view that children merely can learn through the concrete is often biassedly understood in the sense that the concrete has to be abstracted, which characterizes substantial thinking. However, in the case of relational thinking, learning through the concrete means that to achieve insight the mathematical activities have to be applied to reality, a crucial point, for most people have difficulties with applying multiplication, much more than with the inherent algorithms. It appears that they do not really know what multiplication is, particularly not its space structure. The more general the structure the more and wider the applications. This thesis infers that multiplying as multiple of classes is much less useful than multiplying as space form. Questing for the essence of multiplication is the major topic of this paper. Which changes has its structure undergone and how can education deal with them? At the end it is illustratively explained why probability, based on the established multiplication, is usually such a tough domain.

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Multiplizieren nach der Wende. Im Unterricht bedeutet Multiplizieren gewöhnlich wiederholtes Zusammenfügen und Dividieren wiederholtes Wegnehmen, oder, was auf das Gleiche hinausläuft, gleichmäßiges Verteilen. Diese Darstellung stammt aus alten Zeiten gegenständlichen Denkens. In der modernen Mathematik hat man Zahlen-Relationen statt Zahlen-Bilder und entsprechend ist die Multiplikation ein Bereich relationalen Denkens. Die Ansicht, Kinder könnten nur durch Konkretes lernen wird oft in voreingenommener Weise so verstanden, daß das Konkrete abstrahiert werden solle, was gegenständliches Denken charakterisiert. Im Falle relationalen Denkens bedeutet Lernen am Konkreten jedoch, daß mathematische Aktivitäten auf die Realität angewandt werden müssen, um Einsichten zu erzeugen - ein kritischer Punkt, denn viele Leute haben mehr Schwierigkeiten mit dem Anwenden der Multiplikation als mit den zugehörigen Algorithmen. Anscheinend wissen sie nicht so genau, was Multiplikation ist, insbesondere kennen sie nicht deren räumliche Struktur. Je allgemeiner die Struktur ist, desto mehr und vielfältigere Anwendungen gibt es. Die These besagt, daß die Multiplikation als Vielfaches von Klassen weniger nützlich sei als die Multiplikation als räumliche Form. Die Suche nach dem Wesen der Multiplikation ist der Schwerpunkt dieses Beitrags. Welchen Veränderungen war ihre Struktur unterworfen und wie kann Unterricht damit umgehen? Abschließend wird veranschaulicht, weshalb die auf der etablierten Multiplikation basierende Wahrscheinlichkeit gewöhnlich solch ein schwieriger Bereich ist.

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