 Séminaires et Congrès - 14 - pages 229-235 | |
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Théories asymptotiques et équations de Painlevé - Angers, juin 2004
Éric Delabaere - Michèle Loday-Richaud (Éd.)
Séminaires et Congrès 14 (2006), xxvi+363 pages
A Remark about the Painlevé Transcendents
Juan J. Morales-Ruiz
Séminaires et Congrès 14 (2006), 229-235
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Résumé :
Une remarque sur les transcendantes de Painlevé
À l'exception de l'équation de Painlevé I, les équations de Painlevé sont des systèmes hamiltoniens qui dépendent de paramètres. Pour certaines valeurs de ceux-ci, elles admettent des solutions particulières « classiques » algébriques ou transcendantes. On peut alors leur appliquer la méthode galoisienne: un système hamiltonien n'est pas complètement intégrable en termes d'intégrales premières rationnelles ou méromorphes dès lors que la composante neutre du groupe de Galois différentiel de l'équation variationnelle le long d'une telle solution est non-commutatif.
Nous établissons par cette méthode la non-intégrabilité en termes d'intégrales premières rationnelles (voire même, méromorphes à l'infini) d'une sous-famille discrète des équations de Painlevé II.
Mots clefs : Transcendantes de Painlevé, systèmes hamiltoniens, intégrabilité, groupe de Galois différentiel
Abstract:
The Painlevé equations are Hamiltonian systems that, except for Painlevé I, depend on parameters. For some values of the parameters ``classical" particular solutions, either algebraic or transcendent, are known. To such equations the Galoisian method is then relevant: the Hamiltonian system is not completely integrable by means of rational or meromorphic first integrals provided that the identity component of the Galois group of the variational equation along such a solution is non-commutative.
We prove with this method the non-complete integrability by rational (or even, meromorphic at infinity) first integrals of a discrete sub-family of the Painlevé II equations.
Key words: Painlevé transcendents, Hamiltonian systems, Integrability, Differential Galois group
Class. math. : 34M55, 37J30