Algebraic and Geometric Topology 5 (2005), paper no. 19, pages 419-442.

Monoide des enlacements et facteurs orthogonaux
(Monoids of linking pairings and orthogonal summands)

Florian Deloup

Abstract. A linking pairing is a symetric bilinear pairing lambda: GxG --> Q/Z on a finite abelian group. The set of isomorphism classes of linking pairings is a non-cancellative monoid E under orthogonal sum, which is infinitely generated and infinitely related. We propose a new presentation of E that enables one to detect whether a linking pairing has a given orthogonal summand. The same method extends to the monoid Q of quadratic forms on finite abelian groups. We obtain a combinatorial classification of Q (that was previously known for groups of period 4).
As applications, we describe explicitly 3-manifolds having a degree one map onto prescribed (or proscribed) lens spaces. Most of the results extend to 3-manifolds endowed with a parallelization or a spin structure. In particular, the Reidemeister-Turaev function detects the existence of a spin preserving degree one map between a rational homology 3-sphere and a lens space.

Résumé. Un enlacement est une forme bilinéaire symétrique lambda: GxG --> Q/Z sur un groupe abélien fini. L'ensemble des classes d'isomorphismes d'enlacements forme un monoide E, pour la somme orthogonale, à un nombre infini de générateurs et de relations, sans simplification. Nous proposons une nouvelle présentation de E qui permet de reconnaitre si un enlacement posède un facteur orthogonal donné. La meme méthode se généralise au monoide Q des formes quadratiques sur les groupes abéliens finis. Nous obtenons ainsi une classification combinatoire de Q, classification qui n'était précédemment connue que pour les groupes de période 4.
Comme application, nous décrivons explicitement les 3-variétés admettant une application de degré un sur des lenticulaires prescrits (ou proscrits). La plupart des résultats se généralisent aux 3-variétés munies d'une parallélisation ou d'une structure spinorielle. En particulier, la fonction de Reidemeister-Turaev distingue l'existence ou non d'une application de degré un préservant les structures spinorielles entre une 3-sphère d'homologie rationnelle et un lenticulaire.

Keywords. Linking pairing, quadratic form, othogonal summand, 3-manifold

AMS subject classification. Primary: 11E99, 57M27. Secondary: 11E81, 57N10.

E-print: arXiv:math.GT/0503265

DOI: 10.2140/agt.2005.5.419

Submitted: 4 December 2003. Accepted: 6 May 2005. Published: 24 May 2005.

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Florian Deloup
Universite Paul Sabatier, Toulouse III, Laboratoire Emile Picard de Mathematiques
118, route de Narbonne, 31062 Toulouse, France.
Email: deloup@picard.ups-tlse.fr

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