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Research in Mathematics Education - Who Benefits?
Heinrich Bauersfeld, Bielefeld (Germany)

For a long time mathematics education tries hard to win recognition as an academic discipline. In related classroom research and curriculum development one can find not rarely theories and methods in use that are adapted from other (and well established) disciplines. However, in many cases these adaptations do not serve the researchers' goals, yet more, their effects can contradict the stated purposes. The article discusses a few fundamental problems related to empirical research in mathematics education (e.g. the role of the teachers in experimental/control groups), using as concretization a printed research report that is chosen deliberately (and made nameless, therefore).

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Mathematikdidaktische Forschung - wer profitiert davon? Die Mathematikdidaktik bemüht sich seit langem um die Anerkennung als eine wissenschaftliche Disziplin. In ihrer speziellen Unterrichtsforschung und Lehrgangsentwicklung führt dies nicht selten zur Übernahme von Theorien und Methoden aus anderen, anerkannten Disziplinen, die dem vorgegebenen Zweck nicht dienlich sind, ja ihm sogar entgegenwirken können. An einem beliebig gewählten (und daher anonymisierten) veröffentlichten Report zu einem Entwicklungsprojekt werden dazu einige Grundprobleme empirischen Arbeitens (z.B. die Rolle der Lehrer in den Experimental-/Kontrollgruppen) konkretisiert und diskutiert.

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Reductive - Holistic Cycle: A Model for the Study of the Didactic Procedure
Dimitris Gavalas, Athens (Greece)

The concept of reality level may be useful as a catalyst among several systems in the area of knowledge. This concept is leading us to ask, if we can make a reduction from a reality level to another, that is to the problem of reductionism. Relative to it is the problem of holism. At the end these concepts are connected to the category theory and adjoint functors. Within the framework of this aspect we set up a model for the study of the didactic procedure. This model is a feedback system between two reality levels or categories, these of the teacher and of the student. So, the article seeks to enhance and improve the teaching of mathematics by its attempt to understand both student's and teacher's knowledge in the same terms.

Reduktiv-holistischer Zyklus: ein Modell für die Untersuchung didaktischer Prozesse. Der Begriff des Realitäts-Niveaus kann als Katalysator zwischen verschiedenen Systemen im Bereich des Wissens nützlich sein. Dieser Begriff führt uns zu der Frage, ob wir eine Reduktion von einem Realitäts-Niveau zu einem anderen vornehmen können - ein Reduktionismus-Problem. Relevant ist hier das Problem des Holismus. Am Ende werden diese Begriffe mit der Kategorie-Theorie und adjungierten Funktoren in Verbindung gebracht. Im Rahmen dieses Aspektes erarbeiteten wir ein Modell für die Untersuchung von Lehrprozessen. Dieses Modell ist ein Feedback-System zwischen zwei Realitäts-Niveaus oder Kategorien, dem des Lehrers und dem des Schülers. Der Artikel versucht, das Mathematiklehren zu erklären und zu verbessern indem versucht wird, das Wissen beider, Schüler und Lehrer, mit den gleichen Begriffen zu erfassen.

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This document introduces a new ICMI study entitled "The Future of the Teaching and Learning of Algebra", to be held at the University of Melbourne (Australia) in December 2001. The intention is that the word "Algebra" will be interpreted broadly to encompass the diversity of definitions around the world, extending beyond the standard curriculum in some countries. It will include, for example, algebra as a language for generalisation, abstraction and proof; algebra as a tool for problem solving through equation solving or graphing; for modelling with functions; and the way algebraic symbols and ideas are used in other parts of mathematics and other subjects. The principal interest of many participants is likely to be related to secondary school mathematics (ages 11-18) and algebra with real variables, but the study is also concerned with tertiary algebra (e.g. linear algebra and abstract algebra) and with algebra and its precursors for young children.

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Mathematisches Denken in der Linearen Algebra
Katja Lengnink, Darmstadt (Germany); Susanne Prediger, Darmstadt (Germany)

Wie können Studierende in den ersten Studiensemestern am Fachinhalt der Linearen Algebra mathematisches Denken und Handeln erlernen? Zu dieser Frage wird im Folgenden ein Ansatz vorgestellt, der die Reflexion mathematischen Handelns in Hinblick auf seine Verbindungen zu allgemeinen Denk- und Handlungsweisen als wichtigen Bestandteil des Lernens versteht. Damit soll zum einen ermöglicht werden, beim Lernen von Mathematik an allgemeine Denk- und Handlungsmuster anzuknüpfen. Zum anderen kann dadurch das Spezifische mathematischen Denkens als Beitrag zur Welterschließung verstanden werden. An den Inhalten der Linearen Algebra werden exemplarisch Gemeinsamkeiten und Unterschiede des Denkens innerhalb der Mathematik und in vertrauten außermathematischen Bereichen diskutiert, um daran anschließend zu überlegen, wieso und in welchem Rahmen dies Gegenstand des Lernens sein sollte.

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Mathematical Thinking in Linear Algebra. How can first years students learn to think and act mathematically by learning Linear Algebra? We want to present an approach that considers reflection of mathematical acting and its connections to general thinking to be an important part of learning. By understanding mathematics as a specific conventionalization of general thinking, patterns of general thinking can become the starting point for learning mathematics. This points out the specific contribution that mathematics can give to describe reality. By examples of Linear Algebra, we discuss the common ground and differences between thinking in mathematics and in non-mathematical subjects. Based on this discussion, we analyse why and how these reflections can be objects of learning.

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